Δημοσιεύτηκε: 12 Δεκ 2011, 11:26
@lucinos συγγνώμη αλλα τα μπέρδεψες λιγάκι τα πράγματα. Καμία σχέση ο ελκυστής του Lorenz με τους floating point αριθμούς. Δηλαδή έχει σχέση αλλα δεν μπορεί να αποτελέσει παράδειγμα για τα σφάλματα των floating points. Το ζήτημα είναι πιο μεγάλο από ότι το περιγράφεις. Καταρχήν, μιλάμε για floating point αριθμούς και όχι για πραγματικούς. Στους υπολογιστές δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί, γιατί απλά δε μπορεί να υπάρξουν εκτός ένος συστήματος συμβολικών μαθηματικών. Το "π" είναι πραγματικός αριμός, το "ρίζα 2" είναι πραγματικός αριθμόυς, το "2/3" είναι πραγματικός αριθμός. Οι floating points δε μπορούν να περιγράψουν ούτε καν τους ρητούς αριθμούς (μπορεί παρόλ'αυτά να υλοποιηθει με απόλυτη ακρίβεια ένα σύστημα ρητών αριθμών). Οι floating points δεν είναι ισοκατανεμημένοι όπως οι ακέραιοι.
Ο ελκυστής του Lorenz θα είχε την ίδια συμπεριφορά ακόμη κι αν δεν υπήρχε το θέμα των floating points. (Ωραίο τα βιβλία εκλαϊκευμένης επιστήμης αλλά ούτε τη μισή αλήθεια δε λένε). Απλώς με τους floating points επιτείνεται η συμπεριφορά αυτή. Ο ελκυστής του Lorenz δηλώνει την εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. Δηλαδή ακόμη κι αν είχαμε τέλειες όλες τις πράξεις, λόγω της μη γραμμικότητας του συστήματος, η άγνοια στις αρχικές συνθήκες, λόγω μετρητικού, αριθμητικού ή όποιου άλλου σφάλματος, θα οδηγούσε σε απόκλιση δύο αρχικά γειτονικών λύσεων. Οι όροι απόκλιση και γειτονικές λύσεις ορίζονται με μαθηματικούς ορισμούς.
Ο τρόπος που συσσωρεύεται ένα σφάλμα είναι χαοτικός γιατί το σύστημα που διάλεξες είναι χαοτικό. Εχεις μπλέξει τα ήδη σφαλμάτων. To ζήτημα των floating points αναφέρεται στο round off error, ενώ στην αριθμητική ανάλυση υπάρχει επίσης το truncation error και το discretization error. Σε γραμμικά συστήματα ο τρόπος που συσσωρεύεται το σφάλμα είναι απόλυτα γνωστός. Αν δεν ήταν τότε καμία μαθηματική μέθοδος υλοποιήσιμη σε υπολογιστή δε θα ήταν αξιόπιστη (βλ. επίσης σύμβολο Landau).
Θα σου πρότεινα να μείνεις στους floating-point αριθμούς και να μην επεκταθείς σε παραδείγματα που μόνο μεγαλύτερη σύγχυση μπορούν να δημιουργήσουν.
Αν θες να μάθεις περισσότερα για το χάος δες αυτά τα βιβλία:
* http://www.amazon.com/Die-Erforschung-Chaos-Einführung-nichtlinearer/dp/354071071X/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1323678058&sr=8-2
* http://www.amazon.com/Introduction-Appl ... 134&sr=1-4
* http://www.amazon.com/Nonlinear-Oscilla ... pd_sim_b_1
* http://www.amazon.com/Differential-Equa ... pd_sim_b_4
Ο ελκυστής του Lorenz θα είχε την ίδια συμπεριφορά ακόμη κι αν δεν υπήρχε το θέμα των floating points. (Ωραίο τα βιβλία εκλαϊκευμένης επιστήμης αλλά ούτε τη μισή αλήθεια δε λένε). Απλώς με τους floating points επιτείνεται η συμπεριφορά αυτή. Ο ελκυστής του Lorenz δηλώνει την εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. Δηλαδή ακόμη κι αν είχαμε τέλειες όλες τις πράξεις, λόγω της μη γραμμικότητας του συστήματος, η άγνοια στις αρχικές συνθήκες, λόγω μετρητικού, αριθμητικού ή όποιου άλλου σφάλματος, θα οδηγούσε σε απόκλιση δύο αρχικά γειτονικών λύσεων. Οι όροι απόκλιση και γειτονικές λύσεις ορίζονται με μαθηματικούς ορισμούς.
Ο τρόπος που συσσωρεύεται ένα σφάλμα είναι χαοτικός γιατί το σύστημα που διάλεξες είναι χαοτικό. Εχεις μπλέξει τα ήδη σφαλμάτων. To ζήτημα των floating points αναφέρεται στο round off error, ενώ στην αριθμητική ανάλυση υπάρχει επίσης το truncation error και το discretization error. Σε γραμμικά συστήματα ο τρόπος που συσσωρεύεται το σφάλμα είναι απόλυτα γνωστός. Αν δεν ήταν τότε καμία μαθηματική μέθοδος υλοποιήσιμη σε υπολογιστή δε θα ήταν αξιόπιστη (βλ. επίσης σύμβολο Landau).
Θα σου πρότεινα να μείνεις στους floating-point αριθμούς και να μην επεκταθείς σε παραδείγματα που μόνο μεγαλύτερη σύγχυση μπορούν να δημιουργήσουν.
Αν θες να μάθεις περισσότερα για το χάος δες αυτά τα βιβλία:
* http://www.amazon.com/Die-Erforschung-Chaos-Einführung-nichtlinearer/dp/354071071X/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1323678058&sr=8-2
* http://www.amazon.com/Introduction-Appl ... 134&sr=1-4
* http://www.amazon.com/Nonlinear-Oscilla ... pd_sim_b_1
* http://www.amazon.com/Differential-Equa ... pd_sim_b_4